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\usepackage{booktabs}
\usepackage{tikz}
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\title{习题解答}
\author{Darcy}
\begin{document}
\maketitle
\section{填空题}
\subsection{}
\begin{align}
        & 7.816\times 1.45+3.14\times 2.184+1.69\times 7.816\notag     \\
    ={} & 7.816\times 1.45+3.14\times(10-7.816)+1.69\times 7.816\notag \\
    ={} & 7.816\times(1.45+1.69-3.14) + 3.14\times 10\notag            \\
    ={} & 31.4\notag
\end{align}
\subsection{}
略
\subsection{}

遇到不熟悉的竞赛题，不要想着把它完完整整做出来，我们的目标只有一个，那就是得到答案！

我平时用的有两种方法：1. 凑数字 2. 找规律

对于这道题而言，我们可以先把前面几种情况写出来
\begin{center}
    \begin{tabular}{c|ccccc}
        \toprule
        指数 & 1 & 2  & 3   & 4    & 5     \\
        \midrule
        幂   & 9 & 81 & 729 & 6561 & 59049 \\
        \midrule
        末位 & 9 & 1  & 9   & 1    & 9     \\
        \bottomrule
    \end{tabular}
\end{center}
发现循环了~，这时候可以大胆的猜测答案是1。

为什么是这样呢？原因在于，我们做乘法时，积的个位数只与两个因数的个位数有关（因为因数的十位数不会降到个位数嘛），这样总能够得到循环的结果。
\subsection{}

题目要我们求结果末尾的0的个数，我们先观察如下几个式子
\begin{align}
    10   & = (2\times 5)                                     \\
    20   & = 2\times (2\times 5)                             \\
    200  & = 2\times (2\times 5)\times (2\times 5)           \\
    1000 & = (2\times 5)\times (2\times 5)\times (2\times 5)
\end{align}
(1)式(2)式有1个0，1组$2\times 5$，(3)式有2个0，有2组$2\times 5$，(4)式有3个0，有3组$2\times 5$，即要求末尾的0的个数，只要将数字分解质因数后观察$2\times 5$出现的的次数即可

对于本题，我们首先需要知道一个求和公式
\[ (1+2+3+4+\cdots + (n-1) + n = \frac{n\times(n+1)}{2} \]

因此原式可化为
\[ \frac{1\times(1+1)}{2}\times\frac{2\times(2+1)}{2}\times\cdots\times \frac{(n-1)\times((n-1)+1)}{2}\times \frac{n\times(n+1)}{2} \]

简单的说就是$\frac{n\times(n+1)}{2}$这个式子中的$n$从1取到100，再全部乘起来。

又因为本题中显然2出现的次数比5多，我们只要数这100个式子里面有多少5就好，情况大概是这样的
\begin{center}
    \begin{tabular}{c|ccccccccccc}
        \toprule
        n           & 4 & 5 & 9 & 10 & 14 & 15 & $\cdots$ & 94 & 95 & 99 & 100 \\
        \midrule
        5出现的次数 & 1 & 1 & 1 & 1  & 1  & 1  & $\cdots$ & 1  & 1  & 2  & 2   \\
        \bottomrule
    \end{tabular}
\end{center}
对于25、50、75、100这四个数字，5出现的次数为2，对于其余16个数字（5、10、15等），5出现的次数是1，又因为5可能在$n$中出现，也可能在$n+1$中出现，所以结果要乘2
，因此我们有
\begin{align}
    \mbox{末尾0的个数} & =(16+4\times 2)\times 2\notag \\
                       & =24\times 2\notag             \\
                       & =48\mbox{个}\notag
\end{align}
真实结果是这个：
\begin{center}
    6939514967607457080426019916528843698960911731962957852680
    8003553209563968888718917236677774472071506119945801795825
    3068586093900725802315902714744832351688383375084931937346
    3025763074939968372255771911265416816621679618512180472760
    45828096000000000000000000000000000000000000000000000000
\end{center}
\subsection{}

大于4的数字一定大于3，大于3的数字一定大于2，大于2的数字一定大于1，然鹅我只想到一种情况

这句话里有7个数大于1，有5个数大于2，有3个数大于3，有2个数大于4
\subsection{}
1到5中，和最小为3，最大为9，连续的自然数共有三种情况：\\
1. 3 4 5 6 7\\
2. 4 5 6 7 8\\
3. 5 6 7 8 9\\
尝试之后可得，只有第二种情况成立，因此答案是1。
\begin{center}
    \begin{tikzpicture}
        \draw [thick] (0,0) node [below] {2} --
        ++(72:5cm) node [above] {5}  --
        ++(-72:5cm) node [below] {3} -- 
        ++(144:5cm) node [left] {1} -- 
        ++(0:5cm) node [right] {4} -- cycle;
    \end{tikzpicture}
\end{center}
\section{解答题}
\subsection{}
\begin{center}
    \begin{tikzpicture}
        \draw [thick] (0,0) -- (1.9,4) -- (7.9,4) -- (6,0) --cycle;
        \draw [thick] (1.9,4) -- (6,0);
        \draw [thick] (0,0) -- (7.9,4);
        \draw [thick] (1.9,4) -- (3,0);
        \draw [thick] (3,0) -- (7.9,4);
        \draw [thick,dotted] (3,0) -- (3.95,2);
        \draw [thick,dotted] (3,0) -- (1.975,1);
        \draw [thick,dotted] (3,0) -- (4.975,1);
    \end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}
